Existence theorem for planar curves (II)

We follow with the above entry taking an 'easy' function $k$: find a planar curve as a   $y=f(x)$ where $k(x)=2x$.

By the given method in the last entry, we integrate $k$ between $a$ and $x$. Take $a=0$, obtaining  $g(x)=x^2$ (here $m=0$). Then the solution is
$$y(x)=\int_0^x \frac{g(t)}{\sqrt{1-g(t)^2}}dt.$$
In this case,
$$\int_0^x\frac{t^2}{\sqrt{1-t^4}}dt.$$
This integral is not possible to compute!

Other example. Take $k(x)=e^x$. Now
$$\int_0^x e^t dt=e^x-1.$$
If we take $m=-1$, then $g(x)=e^x$ and finally $$f(x)=\int:0^x\frac{e^t}{\sqrt{1-e^{2t}}}dt=\mbox{arc}\sin (e^x).$$In order to make sense in the integrand, we are assuming that  $x<0$. The solution is $y(x)=\mbox{arc}\sin (e^x)$ whose graphic is

Existence theorem for planar curves

We know how to calculate the curvature of a regular curve of  $\mathbb{R}^2$ even if it is not parametrized by the length-arc. We pose the next

Question: let $k:I\subset \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ be a smooth function. Does exist a curve  $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ such that its curvature is $k$, that is, $\kappa(s)=k(s)$?

Answer: yes.

How do we find such a curve? We can do the next approach (and an answer) thanks to the curvature and using our knowledge from Calculus. We do an answer only for curves that are graphs of a function  $y=f(x)$. But this is enough because any curve is locally the graph of a function.

Thus the given function $k=k(s)$ is now a function $k=k(x)$ where $x\in (a,b)$ and $k$ is an easy function. The curve $\alpha$ that we are looking for writes then as  $\alpha(x)=(x,f(x))$ and its curvature is
$$\kappa(x)=\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}.$$
Then we have to solve the following

Problem: let $k:(a,b)  \rightarrow\mathbb{R}$ be a smooth function. Does exist a function $y=f(x)$ such that $$\frac{f''(x)}{(1+f'(x)^2)^{3/2}}=k(x)?$$

Let us use the notation from the high-school with $y=f(x)$. We have to find $y=y(x)$ such that
$$\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}}=k(x).$$
For this, let us integrate. With the change of variable given by $z=y'$, we have
$$\frac{z'}{(1+z^2)^{3/2}}=k(x).$$
But the left-hand side is the derivative of $x/\sqrt{1+z^2}$. Thus, integrating from $a$ to $x$, and returning with $y'$, we have
$$\frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}-m=\int_{a}^x k(t)dt\Rightarrow \frac{y'}{\sqrt{1+y'^2}}:=g(x),$$
where $g(x)=m+\int_{a}^x k(t)dt$ and $m\in \mathbb{R}$. Let us observe that the integral do exist because the integrand is a continuous function, even more, it is differentiable. As a consequence: there are many solutions because in the integral of $k$ we can add a constant and the above formula holds again.

Now we have to find $y$. Then
$$y'=\frac{g}{\sqrt{1-g^2}},$$ where we suppose $g>0$: on the contrary, we change of sign. Now let us integrate again! $$y(x)=\int_a^x \frac{g(t)}{\sqrt{1-g(t)^2}}dt.$$
The integral exists answering positively to the initial question.

Remark: to find the curve, we have to integrate twice!

We give an explicit example. If $k=0$, then $f''=0$, so $f(x)=ax+b$, which it is a straight-line.

The following example is when $k$ is a constant function, and we have to get a circle. Recall that if the radius is $r>0$, then the curvature is $1/r$. Thus we pose the next

Question: find $y=y(x)$ when $k(x)=c>0$.

Hint: for the integral constants, take  $a=0$,  $f(0)= -1/c$ and $f'(0)=0$ (why?)

Curvas y ecuaciones diferenciales: teorema de existencia

Recordemos la matriz que aparece en las ecuaciones de Frenet:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&\kappa&0\\ -\kappa&0&\tau\\ 0&-\tau&0\end{array}\right).$$

Podemos escribir las ecuaciones de Frenet del siguiente modo: si $$f(s)=\left(\begin{array}{l} T(s)\\ N(s)\\ B(s)\end{array}\right)\in \mathbb{R}^9,$$ entonces $f'(s)=A(s)f(s)$. Si pensamos en una ecuaciones diferencial (vectorial), donde $f$ es la incógnita, el problema de valores iniciales que tenemos es el siguiente: dadas funciones $\kappa,\tau:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ diferenciables con $\kappa>0$, ¿existe una solución de dicha ecuación diferencial para unos valores iniciales dados? El resultado clásico de existencia dice que sí y que es única siempre que prefijemos el valor en un instante $s_0$. En nuestro caso $f(s_0)$ sería tres vectores que forman una base ortonormal.

Cuando ya tengamos la función $f(s)$ (que llega a $\mathbb{R}^9$, nos quedamos con las tres primeras coordenadas, que deberían corresponder con el vector tangente de 'alguna curva'. Si $g(s)=(f_1(s),f_2(s),f_3(s))$ son esas primera tres coordenadas, basta ahora definir la curva $$\alpha(s)=\int_{s_0}^s g(u)du.$$

¿Qué quedaría por hacer? Probar que la curvatura y torsión de $\alpha$ es justamente las funciones dadas inicialmente, es decir, $\kappa$ y $\tau$. Pero esto es simplemente computar... probando que $\alpha$ está p.p.a., ... luego que el triedro de Frenet de la curva $\alpha$ es $T(s)=(f_1(s),f_2(s),f_3(s))$, $N(s)=(f_4(s),f_5(s),f_6(s))$ y $B(s)=(f_7(s),f_8(s),f_9(s))$... luego hallar las derivadas, y finalmente poner las definiciones de curvatura y torsión. Pero esto lo dejo al alumno interesado.

Por tanto hemos probado el siguiente resultado:

Teorema. Dadas dos funciones diferenciables $\kappa,\tau:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$   con $\kappa>0$, existe una curva con curvatura $\kappa$ y torsión $\tau$.

Finalmente una observación. La matriz $A$ es antisimétrica, es decir, $A^t=-A$. ¿Qué interpretación podemos sacar de ello?

Una propiedad de las matrices antisimétricas de orden $3$ (análogamente para las de orden $2$) es que la imagen de un vector por dichas matrices es un vector perpendicular al inicial (Ejercicio). Así, si $v\in\mathbb{R}^3$, entonces $Av\perp v$.

Curvatura de grafos y puntos de inflexión

Aunque todavía no hemos calculado la curvatura para una curva no parametrizada por el arco, para curvas planas nos podemos imaginar qué sucede. Consideramos curvas que sean grafos $y=f(x)$, como las del bachillerato. Entonces $\alpha(t)=(t,f(t))$ parametriza la curva y $|\alpha'(t)|=\sqrt{1+f'(t)^2}=\sqrt{1+y'^2}$. Por tanto no está parametrizada por arco. 

Para parametrizar por arco hay que calcular la integral $S(t)=\int_{t_0}^t\sqrt{1+f'(t)^2} dt$, lo cual, si uno recuerda del instituto, no era un tipo de integral de las 'fáciles'. Observemos también que dicha integral (o parecida) aparecía en ciertas fórmulas del bachillerato, por ejemplo al calcular la longitud de curvas $y=f(x)$ o el área de superficies de revolución.

Volviendo a la curvatura, sabemos que el signo de la curvatura nos dice si la curva se encuentra en el lado del vector normal, o en el lado contrario si la curvatura es negativa. Si uno recuerda el análisis de las gráficas de $y=f(x)$, este cambio 'izquierda-derecha' se producía en los puntos de inflexión. Como ejemplo tomamos la función seno $y=\sin(x)$. Si una mira la gráfica (línea azul), los puntos de inflexión son los puntos donde $y''(x)=-\sin(x)$ se anula (línea verde), es decir, en los puntos de la forma $n\pi$, para $n\in\mathbb{N}$. 

Así, en el intervalo $(0,\pi)$, y como estamos recorriendo la curva 'hacia la derecha' según $t$, la curva se encuentra a la derecha respecto de la recta tangente, el vector normal está a la izquierda (giro de ángulo $\pi/2$ en el sentido contrario a las agujas del reloj), luego la curvatura debe ser negativa: vemos también que la derivada segunda es negativa. Al llegar a $t=\pi$, la curva se encuentra ahora a la izquierda, luego la curvatura es positiva, como efectivamente vemos que $f''(x)>0$, y así sucesivamente. Observemos que $\alpha''(t)=(0,f''(t))$. Sin embargo la curvatura no es $f''(t)$.

Cuando no se es regular

Ya hemos comentado que la regularidad es una condición abierta, es decir, si $\alpha$ es regular en $t=t_0$, entonces lo es en un intervalo $I=(t_0-\delta,t_0+\delta)$ de manera que podemos restringir $\alpha$ al intervalo $I$ y trabajar en $I$ como una curva regular.

Si $\alpha$ no es regular en $t_0$, entonces poco podemos decir. El conjunto $A=\{t\in I:  \alpha'(t)=0\}$ es un conjunto cerrado, pero los conjuntos cerrados de $\mathbb{R}$ pueden ser muy raros. Sabemos que es el complementario de una unión de intervalos abiertos, pero no más. Puede pasar que si $t_0\in A$, sea $t_0$ un punto aislado, es decir, para cierto $\epsilon>0$, la curva $\alpha$ sea regular en $(t_0-\epsilon)\cup (t_0+\epsilon)$. Entonces no habría problema, y trabajaríamos en cada uno de los subintervalos.  Puede pasar que $A$ sea un intervalo cerrado $A=[a,b]$. Tampoco sería problema. En $(a,b)$, $\alpha'(t)=0$, luego $\alpha$ es constante, es decir, en el intervalo de tiempo $[a,b]$, $\alpha$ es constantemente un punto. Entonces trabajaríamos en $I-[a,b]$.

Pero $A$ puede ser muy 'raro', como el conjunto de Cantor.

Algo parecido a lo anterior pasa cuando consideramos curvas que no son diferenciables (la diferenciabilidad es una propiedad abierta) en 'pocos puntos', por ejemplo, que $\alpha$ sea diferenciable a trozos, es decir, existe $t_0<t_1<\ldots<t_n$ donde $\alpha$ es continua en $I$ y diferenciable en $I-\{t_0,\ldots,t_n\}$. Podemos definir la longitude de $\alpha$ entre $a$ y $b$ (suponiendo $a<t_0$ y $t_n<b$) como $\int_a^b|\alpha'(t)|dt$, ya que la integral existe (se ha quitado un conjunto finito de puntos, a saber, $\{t_0,\ldots,t_n\}$. Por ejemplo, si consideramos el conjunto 'L' dado por $A=([0,1]\times\{0\})\cup(\{0\}\times [0,1])$, se puede parametrizar como una curva diferenciable a trozos:

$$\alpha(t)=\left\{\begin{array}{ll}(t,0) &t\in [0,1]\\ (0, t+1)&t\in [-1,0]\end{array}\right.$$ Entonces $\alpha$ es continua y es diferenciable en $[-1,1]-\{0\}$. La longitud es $2$, al ser la suma de dos segmento de longitud $1$, pero hacemos la cuenta. Sabemos que $$\alpha'(t)=\left\{\begin{array}{ll}(1,0) &t\in [0,1]\\ (0, 1)&t\in [-1,0]\end{array}\right.$$ Entonces la longitud es
 $$\int_{-1}^1|\alpha'(t)|dt=\int_{-1}^0 1 dt+\int_0^1 1 dt=1+1=2.$$

Longitud de una elipse

La definición que tenemos para la longitud de una curva nos permite obtener la longitud de una circunferencia de radio $r>0$. Así, si $\alpha(t)=(r\cos(t),r\sin(t))$, una vuelta a la circunferencia es tomar un intervalo de longitud $2\pi$, por ejemplo, $[0,2\pi]$. Por tanto la longitud es $$L_0^{2\pi}(\alpha)=\int_0^{2\pi}|\alpha'(t)|dt=\int_0^{2\pi}r\ dt=2\pi r.$$
Si queremos hallar la longitud de una elipse (una vuelta de la misma), tomamos la parametrización $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$  de semiejes $a$ y $b$. Una vuelta de la elipse es de nuevo considerar un intervalo de longitud $2\pi$, obteniendo $$L_0^{2\pi}(\alpha)=\int_0^{2\pi}|\alpha'(t)|dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin(t)^2+b^2\cos(t)^2}\ dt,$$
pero esta integral no es fácil calcularla. En verdad, no hay una expresión algebraica de dicha integral. Es curioso que el 'pequeño' cambiar de considerar elipse, en vez de circunferencia, hace que no podamos calcular la longitud de la elipse. La integral que aparece  anteriormente es de interés en matemáticas, y pertenece a la familia de las llamadas integrales elípticas.

Observación. El área que encierra una elípse sí se puede hallar  y es $\pi a b$: cuando $a=b$, tenemos una circunferencia y obteniendo como era de esperar $\pi a^2$. Para hallar dicho área puede uno irse a la asignatura de  Calculo II o usar la fórmula aprendida en el instituto de que el área de $y=f(x)$ es su 'integral'. En nuestro caso, ponemos $y=(b/a)\sqrt{a^2-x^2}$ e integrar entre $x=0$ y $x=a$ y por simetría,  multiplicar por $4$: ¡esta integral sí se puede calcular! Primero, $$\int\sqrt{a^2-x^2} dx =\frac12\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2 \mbox{arc tan}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right).$$ Sustituyendo en $x=0$, da $0$ y en $a$ es $\pi a^2/4$. Luego la integral inicial es $\pi ab/4$ y al multiplicar por $4$, $\pi a b$.

Para acabar,
Pregunta: ¿cuál es la longitud del cicloide después de dar una vuelta la circunferencia generatriz?

Una propiedad de las hélices

Hemos hecho en clase un ejercicio de una curva cuyas tangentes forman un ángulo fijo con una recta. Otro ejemplo de una curva con dicha propiedad es la hélice. Efectivamente, si $\alpha(t)=(r\cos(t),r\sin(t),at)$ es la parametrización de una hélice veamos que las tangentes forman un ángulo constante con el eje $z$. Tenemos $\alpha'(t)=(-r\sin(t),r\cos(t),a)$ y si $v=(0,0,1)$ es el vector de dirección del eje $z$, tenemos:

$$\cos\theta(t)=\frac{\langle\alpha'(t),v\rangle}{|\alpha'(t)||v|}=\frac{a}{\sqrt{r^2+a^2}},$$

que es independiente de $t$. 

Pregunta: ¿Cuáles son las curvas de $\mathbb{R}^2$ que forman un ángulo constante con una dirección fija?

Catenaria o parábola

Hoy hemos visto que la forma de una cuerda suspendida entre dos puntos y debida a su propio peso es la catenaria $y(x)=\frac{1}{a}\cosh(ax+b)+c$, $a,b,c\in\mathbb{R}$. Y la forma de una cuerda debido a su carga es la párabola $y(x)=ax^2+b$, $a,b\in \mathbb{R}$. Si le damos la vuelta a ambos tenemos arcos y es natural hacerse la siguiente

Pregunta: al construir un arco ¿cuál es la forma apropiada?

En nuestro lenguaje, ¿cuál es la parametrización de un arco apropiado? Por supuesto, esto depende qué significa 'apropiado'. Si dijéramos que es la forma que adopta de manera 'natural', entonces sería la catenaria (por su propio peso). Pero uno puede pedir que el arco sea 'fuerte', es decir, que 'aguante un gran peso'. Parece ser que sería la parábola.

En San Louis (Estados Unidos), existe un arco llamado Gateway Arch, de 192 metros de ancho y de alto. Robert Osserman (Stanford) escribió un bonito artículo sobre las matemáticas que hay detrás de dicha forma: How the Gateway Arch Got its Shape, Nexus Network Journal (2010), Volume 12, Issue 2, pp 167–189.

Os animo que lo leáis y saquéis vuestras propias conclusiones. Justo al principio se pregunta si en la construcción se toma decisiones estéticas o decisiones estructurales. También, en el último párrafo de la página 171 se justifica la forma de la parábola si es para sujetar un gran peso (que no es éste el caso). 

Es curioso que la parábola y la catenaria son casi iguales para ciertas condiciones, por ejemplo, en el Golden Gate Bridge de San Francisco (figs. 5, 6). En el caso del Gateway Arch, el propio arquitecto dijo que fue construido !a ojo!: "The arch actually is not a true parabola, nor is it a catenary curve. We worked at first with the mathematical shapes, but finally adjusted it according to the eye."

El comportamiento en el infinito de la catenaria y parábola son muy diferentes, pero en trozos 'pequeños' pueden ser parecidos, como se deduce de leer el artículo de Osserman. Yo he hecho un ejercicio muy simple que es hallar la catenaria y parábola que es simétrica respecto del eje $y$, tiene como vértice el origen $(0,0)$ y pasa por el punto $(2,1)$.

Para la catenaria $y(x)=\cosh(ax+b)/a+c$, obtengo que $b=0$ para que sea simétrica respecto del eje $y$, para que pase por el origen, que $c=-1/a$ y por último, para que pase por $(2,1)$, tengo que resolver $\cosh(2a)=1+a$, obteniendo $a=0.465411$. Para la parábola, tengo $z(x)=x^2/4$. Y las gráficas son:

El dibujo está hecho con Mathematica, y la escala de los ejes es la misma. Sin embargo, no soy capaz de verlos separados. También el desarrollo de Taylor de $y(x)$ alrededor de $x=0$  es $0.232705 x^2+ 0.00420047 x ^4+O(x)^6$,  muy parecido a $0.25 x^2$.

Diferencias entre traza y grafo

Hacemos hincapié en la diferencia entre la traza de una curva y el grafo de una función. Consideramos una curva $\alpha:I\rightarrow \mathbb{R}^2$. La traza de $\alpha$ es su imagen, es decir, $\alpha(I)=\{\alpha(t):t\in I\}$. Por tanto es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$. El grafo de $\alpha$ es $$G(\alpha)=\{(t,\alpha(t))\in \mathbb{R}^3:t\in I\}.$$
Es un subconjunto de $\mathbb{R}^3$.

Si recordamos nuestra época del instituto, cuando 'dibujamos' la función $y=f(x)$, con $x\in I$, lo que estamos es dibujando el grafo de $f$, es decir, $G(f)=\{(x,f(x)):x\in I\}$. Si parametrizamos este conjunto como curva, entonces tomamos $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ definida por $\alpha(t)=(t,f(t))$. Es evidente que $\alpha(I)=G(f)$, pero el grafo de $\alpha$ (¡no el de $f$!) es
$$G(\alpha)=(t,\alpha(t)):t\in I\}=\{(t,t,f(t)): t\in I\}\subset \mathbb{R}^3.$$
Pregunta: ¿qué relación tiene este conjunto con $G(f)$?

Con un ejemplo está claro. Tomamos $y=x^2$ (la parábola). En el siguiente dibujo tenemos a la izquierda $G(f)$ y a la derecha $G(\alpha)$.

 

Otro ejemplo para pensar la diferencia es el siguiente. Si $\alpha(t)=(\cos(t),\sin(t))$ parametriza una circunferencia, entonces la traza de $\alpha$ es $\mathbb{S}^1$ pero la gráfica de $\alpha$ es
$G(\alpha)=\{(t,\cos(t),\sin(t)):t\in \mathbb{R}\}$, que es una hélice: véase el siguiente dibujo de $G(\alpha)$:

Ser o no ser ... una curva

Supongamos que tenemos un conjunto $A$  del que creemos que es una curva. Si queremos probar que efectivamente lo es, tenemos que parametrizarlo, es decir,  tenemos que encontrar una curva $\alpha$ cuya traza sea $A$. Puede suceder que haya también una aplicación $\beta:I\rightarrow \mathbb{R}^3 (\mathbb{R}^2)$ cuya imagen es $A$ pero $\beta$ no es diferenciable, es decir, no es una curva tal como lo tenemos definido.

Un ejemplo es tomar la función valor absoluto. Tomamos el conjunto $$A=\{(x,|x|)\in\mathbb{R}^2: x\in\mathbb{R}\}.$$

Sea $\beta(t)=(t,|t|)$, $t\in\mathbb{R}$. Es evidente que la traza de $\beta$ es $A$, pero $\beta$ es diferenciable excepto en $t=0$. Por tanto, $\beta$ no es una curva.

Sin embargo si definimos $$\alpha(t)=\left\{\begin{array}{ll}(t^4,t^4)&t\geq 0\\ (-t^4,t^4)&t\leq 0\end{array}\right.$$
entonces $\alpha$ es diferenciable (al menos es $C^4$) y su traza es $A$.

¿Cuál es la diferencia entre $\alpha$ y $\beta$? Si hallamos la velocidad de $\beta$, entonces no es continua ($\beta$ no es diferenciable) pues $\lim_{t\rightarrow 0^+}\beta'(t)=(1,1)$ y $\lim_{t\rightarrow 0^-}\beta'(t)=(1,-1)$. En verdad, la velocidad es constante en el periodo de tiempo $t<0$ y constante (pero diferente) cuando $t>0$. Intuitivamente, vamos recorriendo el conjunto $A$ por la recta $y=-x$ a velocidad constante $(1,-1)$ y al llegar a $t=0$ (el punto $(0,0)$) damos un cambio brusco de velocidad (no continuidad de $\beta'(t)$), 'giramos' y nos ponemos a velocidad constante a lo largo de la recta $y=x$.

Para 'solucionarlo', es decir, para encontrar una parametrización (=diferenciabilidad) de $A$ lo que hacemos es que conforme vamos llegando al origen $(0,0)$ por la recta $y=-x$, disminuimos la velocidad (en módulo) hasta hacerla $0$ en el origen, 'giramos'  a la recta $y=x$, y vamos aumentando la velocidad de manera diferenciable. Fijaros que la velocidad a lo largo del conjunto $A$ no es constante sino $$\alpha'(t)=\left\{\begin{array}{ll}(4t^3,4t^3)&t\geq 0\\ (-4t^3,4t^3)&t\leq 0\end{array}\right.$$

¿Qué es parametrizar una curva? III

Vamos a parametrizar una circunferencia sin que la aplicación sea diferenciable o incluso, sin ser continua. Concretamos la pregunta. Tomamos el conjunto $C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\}$ que representa una circunferencia de radio $1$ centrada en el origen de coordenadas de $\mathbb{R}^2$.

Pregunta: Hallar una aplicación $\alpha:I\subset \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$ que no sea diferenciable y cuya imagen $\alpha(I)$ es $C$.

Dicha aplicación sería una parametrización de $C$ pero no es una curva en el sentido que le hemos dado a la asignatura. Sabemos que todo punto  $p\in C$ es de la forma $p=(\cos(t(p)),\sin(t(p)))$ para algún número real $t(p)$. Observemos que para dicho $t(p)$, también tenemos $p=(\cos(t(p)+2\pi),\sin(t(p))+2\pi)$. Lo que estamos preguntando es por una manera de elegir $t(p)$ sin que sea diferenciable. Por ejemplo, si tomamos $t\mapsto (\cos(t),\sin(t))$ entonces dicha aplicación es diferenciable.

Vamos a tomar $I=\mathbb{R}$. Entonces para cualquier aplicación $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ cuya imagen contenga al intervalo $[0,2\pi]$, tenemos que $\alpha(t)=(\cos(\varphi(t)),\sin(\varphi(t)))$ es una aplicación cuya imagen es $C$. Basta tomar entonces una aplicación $\varphi$ que no sea diferenciable, por ejemplo, $\varphi(t)=|t|$. Así la respuesta es $\alpha(t)=(\cos(|t|),\sin(|t|))$. Os dejo que probéis que $\alpha$ no es diferenciable en $t=0$. Ojo: que la aplicación $t\mapsto |t|$ no sea diferenciable  y $t\mapsto\cos$ sea diferenciable no implica que la composición de ambos no sea diferenciable.

Para acabar con esta entrada, hacemos la siguiente

Pregunta: Hallar una aplicación $\alpha:I\subset \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$ que no sea continua y cuya imagen $\alpha(I)$ es $C$.

Haciendo un razonamiento parecido al de antes, la aplicación
$$\varphi(t)=\left\{\begin{array}{ll} t& t\leq 0\\ t+1  & t > 0\end{array}\right.$$
no es continua en $t=0$, $\alpha(t)=(\cos(\varphi(t)),\sin(\varphi(t)))$  no es continua pero $\alpha(\mathbb{R})=C$.

¿Qué es parametrizar una curva? II

Otra manera de definir una curva es mediante una 'propiedad'. Por ejemplo, una circunferencia de radio $1$ y centrada en el origen es el conjunto de puntos del plano que distan de $O$ una distancia igual a $1$.  Observemos que, de nuevo, la curva se define como un conjunto de puntos (en este caso, un subconjunto del plano) ¿Qué significa parametrizar esta curva? Encontrar una aplicación diferenciable $\alpha=\alpha(t)$ cuya imagen es el conjunto. Observemos que puede haber muchas maneras de parametrizar dicho conjunto, es decir, diferentes aplicaciones cuya imagen es el mismo conjunto. En este caso, el conjunto es $C=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$.

Otro ejemplo es la cicloide: es la traza de un punto dado de una circunferencia dada apoyada en una recta dada, cuando rodamos (sin deslizarse) dicha circunferencia en una dirección de la recta.

Podéis ver la cicloide con la circunferencia deslizándose en https://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide
¿Qué significa parametrizar la cicloide? Encontrar una aplicación diferenciable $\alpha=\alpha(t)$ cuya imagen es la traza del punto $p$ a lo largo del movimiento dado.

¿Cuál es el primer y principal problema? Elegir adecuadamente el parámetro $t$.

Un segundo problema es 'fijar la circunferencia y las coordenadas' para posteriormente decir algo del tipo "sin perder generalidad podemos suponer..."

En este caso, y sin perder generalidad, podemos suponer que la circunferencia es de radio $r>0$ y apoyada sobre la recta $y=0$. Supongamos que su centro es, un momento dado, el punto $(0,r)$ y el punto que fijamos es $p=(0,0)$, en dicho momento. Suponemos que la circunferencia se recorre hacia la derecha. El parámetro $t$ es el ángulo respecto del radio vertical hacia abajo desde el centro que ha recorrido $p$. Para calcular las coordenadas, primero lo hacemos desde el centro de la circunferencia, donde el ángulo del punto es $3\pi/2-t$ (el menos es porque se recorre a la derecha). Entonces las coordenadas respecto del centro de la circunferencia son $(r\cos(3\pi/2-t),r\sin(3\pi/2-t)$, es decir, $(-r\sin(t),-r\cos(t))$. Y ahora lo hacemos respecto del origen de $\mathbb{R}^2$ sin más que sumar las coordenadas del centro de la circunferencia: la abcisa es la distancia recorrida que es justo $rt$ y la ordenada es $(0,r)$. Por tanto
$$\alpha(t)=(rt,r)+(-r\sin(t),-r\cos(t))=r(t-\sin(t),1-\cos(t)),\ t\in\mathbb{R}.$$
Para $r=1$, un dibujo es

En azul tenemos la circunferencia que rueda, y en verde, el movimiento del punto $(0,0)$ cuando $t\in [0,2\pi]$.

¿Qué es parametrizar una curva?

Una curva en $\mathbb{R}^n$ ($n=2,3$) es una aplicación diferenciable $\alpha:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$. Si escribimos $\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ con $t\in I$, estamos escribiendo cada una de las coordenadas en función del parámetro $t$. Por esta razón podemos abusar del lenguaje diciendo que $\alpha$ es una parametrización de la curva.

Una curva puede venir  'definida' de varias formas, aparte de la parametrización de la misma, es decir de la aplicación $\alpha$. Por ejemplo, dando una relación entre las (funciones) coordenadas de $\alpha$. Este es el ejemplo de una circunferencia: $x^2+y^2=1$. Con esta igualdad estamos diciendo que si $\alpha$ es la circunferencia anterior, entonces $x(t)^2+y(t)^2=1$. Observemos que podemos escribir dicho conjunto como $C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$ y por tanto no es una curva, es un conjunto y no es una aplicación. Lo que estamos diciendo es que la traza de la curva, es decir, la imagen de la misma ($\alpha(I)$) es $C$. En este caso parametrizar $C$ es encontrar la curva $\alpha$ cuya imagen es $C$.

Solución: llamando $x=t$, entonces $y=\sqrt{1-t^2}$ o $y=-\sqrt{1-t^2}$ donde $I=(-1,1)$. Entonces, y en el primer caso, $\alpha(t)=(t, \sqrt{1-t^2})$. Observando la segunda coordenada, tenemos que la traza de $\alpha$ no es todo $C$, sino sólo la semicircunferencia superior. Para la parte de abajo, cogemos $\beta(t)=(t, -\sqrt{1-t^2})$.  Como la función raíz cuadrada no es diferenciable en $0$, la traza de $\alpha$ y de $\beta$ no rellena todo $C$, pues faltarían los puntos $P=(1,0)$ y $Q=(-1,0)$. Para ello tomamos $y=t$ y definimos $\gamma(t)=(\sqrt{1-t^2},t)$ que cubriría $P$ y $\sigma(t)=(-\sqrt{1-t^2},t)$ que cubriría $Q$. Resumiendo, hemos parametrizado $C$ mediante cuatro curvas.

Otra manera de resolver el problema es usando que para todo par  $(x,y)$ del plano que satisface $x^2+y^2=1$, existe $z$ tal que $\cos(z)=x$ y $\sin(z)=y$. Para cada $x$ e $y$, hay un $z$ y el  problema para poder parametrizar todo $C$ es si es posible elegir ese $z$ de manera diferenciable. La respuesta es sí sin más que tomar $\alpha(t)=(\cos(t),\sin(t))$ y $t\in \mathbb{R}$.