¿Qué es parametrizar una curva? II

Otra manera de definir una curva es mediante una 'propiedad'. Por ejemplo, una circunferencia de radio $1$ y centrada en el origen es el conjunto de puntos del plano que distan de $O$ una distancia igual a $1$.  Observemos que, de nuevo, la curva se define como un conjunto de puntos (en este caso, un subconjunto del plano) ¿Qué significa parametrizar esta curva? Encontrar una aplicación diferenciable $\alpha=\alpha(t)$ cuya imagen es el conjunto. Observemos que puede haber muchas maneras de parametrizar dicho conjunto, es decir, diferentes aplicaciones cuya imagen es el mismo conjunto. En este caso, el conjunto es $C=\{(x,y):x^2+y^2=1\}$.

Otro ejemplo es la cicloide: es la traza de un punto dado de una circunferencia dada apoyada en una recta dada, cuando rodamos (sin deslizarse) dicha circunferencia en una dirección de la recta.

Podéis ver la cicloide con la circunferencia deslizándose en https://es.wikipedia.org/wiki/Cicloide
¿Qué significa parametrizar la cicloide? Encontrar una aplicación diferenciable $\alpha=\alpha(t)$ cuya imagen es la traza del punto $p$ a lo largo del movimiento dado.

¿Cuál es el primer y principal problema? Elegir adecuadamente el parámetro $t$.

Un segundo problema es 'fijar la circunferencia y las coordenadas' para posteriormente decir algo del tipo "sin perder generalidad podemos suponer..."

En este caso, y sin perder generalidad, podemos suponer que la circunferencia es de radio $r>0$ y apoyada sobre la recta $y=0$. Supongamos que su centro es, un momento dado, el punto $(0,r)$ y el punto que fijamos es $p=(0,0)$, en dicho momento. Suponemos que la circunferencia se recorre hacia la derecha. El parámetro $t$ es el ángulo respecto del radio vertical hacia abajo desde el centro que ha recorrido $p$. Para calcular las coordenadas, primero lo hacemos desde el centro de la circunferencia, donde el ángulo del punto es $3\pi/2-t$ (el menos es porque se recorre a la derecha). Entonces las coordenadas respecto del centro de la circunferencia son $(r\cos(3\pi/2-t),r\sin(3\pi/2-t)$, es decir, $(-r\sin(t),-r\cos(t))$. Y ahora lo hacemos respecto del origen de $\mathbb{R}^2$ sin más que sumar las coordenadas del centro de la circunferencia: la abcisa es la distancia recorrida que es justo $rt$ y la ordenada es $(0,r)$. Por tanto
$$\alpha(t)=(rt,r)+(-r\sin(t),-r\cos(t))=r(t-\sin(t),1-\cos(t)),\ t\in\mathbb{R}.$$
Para $r=1$, un dibujo es

En azul tenemos la circunferencia que rueda, y en verde, el movimiento del punto $(0,0)$ cuando $t\in [0,2\pi]$.