Hemos hecho en clase un ejercicio de una curva cuyas tangentes forman un ángulo fijo con una recta. Otro ejemplo de una curva con dicha propiedad es la hélice. Efectivamente, si $\alpha(t)=(r\cos(t),r\sin(t),at)$ es la parametrización de una hélice veamos que las tangentes forman un ángulo constante con el eje $z$. Tenemos $\alpha'(t)=(-r\sin(t),r\cos(t),a)$ y si $v=(0,0,1)$ es el vector de dirección del eje $z$, tenemos:
$$\cos\theta(t)=\frac{\langle\alpha'(t),v\rangle}{|\alpha'(t)||v|}=\frac{a}{\sqrt{r^2+a^2}},$$
que es independiente de $t$.
Pregunta: ¿Cuáles son las curvas de $\mathbb{R}^2$ que forman un ángulo constante con una dirección fija?
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ReplyDelete(He utilizado el símbolo "·" para denotar producto escalar)
ReplyDeleteSupongamos una curva α:I->R^2 (podemos suponer α p.p.a porque si no lo estuviera el vector de la Recta Tangente de la curva sin parametrizar en un punto es proporcional al de la curva parametrizada)tal que forma un ángulo constante con una dirección fija(vector v que supondremos de módulo 1), entonces tenemos se da:
α(s)·v=C (cte).
*Si C no es 0:
Derivando esta expresión queda:
α''(s)·v=0, utilizando las ecuaciones de Frenet llegamos a que:
k(s)(N(s)·v)=0.Ahora vamos a razonar por reducción al absurdo que k(s)=0, en este sentido suponemos que existe un s0 tal que k(s0)≠0
de donde por continuidad sabemos que existirá un inntervalo J alrededor de s0 y contenido en I tal que k(s)≠0 ∀s∈J.
De aquí deducimos que en dicho intervalo se da que N(s)·v=0, si de nuevo derivamos y aplicamos las ecuaciones de Frenet nos queda que: -k(s)(T(s)·v)=0, pero habíamos supuesto que en J k(s)≠0, y por hipótesis T(s)·v es no nulo.Así llegamos a una contradicción que viene de suponer que existe un punto en el que la curvatura no se anula.Por tanto k(s)=0 ∀s∈I.
*Si la constante C fuera 0, tenemos que v es perpendicular al vector tangente ∀s∈I, y por tanto como {T(s),N(s)} forman una base (ortnormal positiva) nos queda que N(s)·v=1 ó N(s)·v=-1,
en ambos casos de la expresión k(s)(N(s)·v)=0(como habíamos visto, esta expresión viene de derivar (α'(s),v)=0) extraemos que k(s)=0 ∀s∈I.
Finalmente, concluimos aplicando el Teorema Fundamental de curvas planas y deducimos que α es un segmento de recta.
La otra implicación, es inmediata teniendo en cuenta que si
α:I->R^2 es una recta : α(t)=p+tv, (|v|=1) tenemos que las rectas tangentes de α son la propia recta, y por tanto todas las rectas tangentes forman un ángulo constante con v.
Por tanto las únicas curvas de R^2 que forman un ángulo constante con una dirección fija son las rectas.
Alexis Béjar López.