Hemos hecho en clase un ejercicio de una curva cuyas tangentes forman un ángulo fijo con una recta. Otro ejemplo de una curva con dicha propiedad es la hélice. Efectivamente, si $\alpha(t)=(r\cos(t),r\sin(t),at)$ es la parametrización de una hélice veamos que las tangentes forman un ángulo constante con el eje $z$. Tenemos $\alpha'(t)=(-r\sin(t),r\cos(t),a)$ y si $v=(0,0,1)$ es el vector de dirección del eje $z$, tenemos:
$$\cos\theta(t)=\frac{\langle\alpha'(t),v\rangle}{|\alpha'(t)||v|}=\frac{a}{\sqrt{r^2+a^2}},$$
que es independiente de $t$.
Pregunta: ¿Cuáles son las curvas de $\mathbb{R}^2$ que forman un ángulo constante con una dirección fija?
