Diferencias entre traza y grafo

Hacemos hincapié en la diferencia entre la traza de una curva y el grafo de una función. Consideramos una curva $\alpha:I\rightarrow \mathbb{R}^2$. La traza de $\alpha$ es su imagen, es decir, $\alpha(I)=\{\alpha(t):t\in I\}$. Por tanto es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$. El grafo de $\alpha$ es $$G(\alpha)=\{(t,\alpha(t))\in \mathbb{R}^3:t\in I\}.$$
Es un subconjunto de $\mathbb{R}^3$.

Si recordamos nuestra época del instituto, cuando 'dibujamos' la función $y=f(x)$, con $x\in I$, lo que estamos es dibujando el grafo de $f$, es decir, $G(f)=\{(x,f(x)):x\in I\}$. Si parametrizamos este conjunto como curva, entonces tomamos $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ definida por $\alpha(t)=(t,f(t))$. Es evidente que $\alpha(I)=G(f)$, pero el grafo de $\alpha$ (¡no el de $f$!) es
$$G(\alpha)=(t,\alpha(t)):t\in I\}=\{(t,t,f(t)): t\in I\}\subset \mathbb{R}^3.$$
Pregunta: ¿qué relación tiene este conjunto con $G(f)$?

Con un ejemplo está claro. Tomamos $y=x^2$ (la parábola). En el siguiente dibujo tenemos a la izquierda $G(f)$ y a la derecha $G(\alpha)$.

 

Otro ejemplo para pensar la diferencia es el siguiente. Si $\alpha(t)=(\cos(t),\sin(t))$ parametriza una circunferencia, entonces la traza de $\alpha$ es $\mathbb{S}^1$ pero la gráfica de $\alpha$ es
$G(\alpha)=\{(t,\cos(t),\sin(t)):t\in \mathbb{R}\}$, que es una hélice: véase el siguiente dibujo de $G(\alpha)$: