¿Qué es parametrizar una curva?

Una curva en $\mathbb{R}^n$ ($n=2,3$) es una aplicación diferenciable $\alpha:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$. Si escribimos $\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ con $t\in I$, estamos escribiendo cada una de las coordenadas en función del parámetro $t$. Por esta razón podemos abusar del lenguaje diciendo que $\alpha$ es una parametrización de la curva.

Una curva puede venir  'definida' de varias formas, aparte de la parametrización de la misma, es decir de la aplicación $\alpha$. Por ejemplo, dando una relación entre las (funciones) coordenadas de $\alpha$. Este es el ejemplo de una circunferencia: $x^2+y^2=1$. Con esta igualdad estamos diciendo que si $\alpha$ es la circunferencia anterior, entonces $x(t)^2+y(t)^2=1$. Observemos que podemos escribir dicho conjunto como $C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$ y por tanto no es una curva, es un conjunto y no es una aplicación. Lo que estamos diciendo es que la traza de la curva, es decir, la imagen de la misma ($\alpha(I)$) es $C$. En este caso parametrizar $C$ es encontrar la curva $\alpha$ cuya imagen es $C$.

Solución: llamando $x=t$, entonces $y=\sqrt{1-t^2}$ o $y=-\sqrt{1-t^2}$ donde $I=(-1,1)$. Entonces, y en el primer caso, $\alpha(t)=(t, \sqrt{1-t^2})$. Observando la segunda coordenada, tenemos que la traza de $\alpha$ no es todo $C$, sino sólo la semicircunferencia superior. Para la parte de abajo, cogemos $\beta(t)=(t, -\sqrt{1-t^2})$.  Como la función raíz cuadrada no es diferenciable en $0$, la traza de $\alpha$ y de $\beta$ no rellena todo $C$, pues faltarían los puntos $P=(1,0)$ y $Q=(-1,0)$. Para ello tomamos $y=t$ y definimos $\gamma(t)=(\sqrt{1-t^2},t)$ que cubriría $P$ y $\sigma(t)=(-\sqrt{1-t^2},t)$ que cubriría $Q$. Resumiendo, hemos parametrizado $C$ mediante cuatro curvas.

Otra manera de resolver el problema es usando que para todo par  $(x,y)$ del plano que satisface $x^2+y^2=1$, existe $z$ tal que $\cos(z)=x$ y $\sin(z)=y$. Para cada $x$ e $y$, hay un $z$ y el  problema para poder parametrizar todo $C$ es si es posible elegir ese $z$ de manera diferenciable. La respuesta es sí sin más que tomar $\alpha(t)=(\cos(t),\sin(t))$ y $t\in \mathbb{R}$.