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Monday, 20 February 2017

Cuando no se es regular

Ya hemos comentado que la regularidad es una condición abierta, es decir, si α es regular en t=t0, entonces lo es en un intervalo I=(t0δ,t0+δ) de manera que podemos restringir α al intervalo I y trabajar en I como una curva regular.

Si α no es regular en t0, entonces poco podemos decir. El conjunto A={tI:α(t)=0} es un conjunto cerrado, pero los conjuntos cerrados de R pueden ser muy raros. Sabemos que es el complementario de una unión de intervalos abiertos, pero no más. Puede pasar que si t0A, sea t0 un punto aislado, es decir, para cierto ϵ>0, la curva α sea regular en (t0ϵ)(t0+ϵ). Entonces no habría problema, y trabajaríamos en cada uno de los subintervalos.  Puede pasar que A sea un intervalo cerrado A=[a,b]. Tampoco sería problema. En (a,b), α(t)=0, luego α es constante, es decir, en el intervalo de tiempo [a,b], α es constantemente un punto. Entonces trabajaríamos en I[a,b].


Pero A puede ser muy 'raro', como el conjunto de Cantor.

Algo parecido a lo anterior pasa cuando consideramos curvas que no son diferenciables (la diferenciabilidad es una propiedad abierta) en 'pocos puntos', por ejemplo, que α sea diferenciable a trozos, es decir, existe t0<t1<<tn donde α es continua en I y diferenciable en I{t0,,tn}. Podemos definir la longitude de α entre a y b (suponiendo a<t0 y tn<b) como ba|α(t)|dt, ya que la integral existe (se ha quitado un conjunto finito de puntos, a saber, {t0,,tn}. Por ejemplo, si consideramos el conjunto 'L' dado por A=([0,1]×{0})({0}×[0,1]), se puede parametrizar como una curva diferenciable a trozos:
α(t)={(t,0)t[0,1](0,t+1)t[1,0]
Entonces α es continua y es diferenciable en [1,1]{0}. La longitud es 2, al ser la suma de dos segmento de longitud 1, pero hacemos la cuenta. Sabemos que α(t)={(1,0)t[0,1](0,1)t[1,0]
Entonces la longitud es
 11|α(t)|dt=011dt+101dt=1+1=2.

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