Ya hemos comentado que la regularidad es una condición abierta, es decir, si α es regular en t=t0, entonces lo es en un intervalo I=(t0−δ,t0+δ) de manera que podemos restringir α al intervalo I y trabajar en I como una curva regular.
Si α no es regular en t0, entonces poco podemos decir. El conjunto A={t∈I:α′(t)=0} es un conjunto cerrado, pero los conjuntos cerrados de R pueden ser muy raros. Sabemos que es el complementario de una unión de intervalos abiertos, pero no más. Puede pasar que si t0∈A, sea t0 un punto aislado, es decir, para cierto ϵ>0, la curva α sea regular en (t0−ϵ)∪(t0+ϵ). Entonces no habría problema, y trabajaríamos en cada uno de los subintervalos. Puede pasar que A sea un intervalo cerrado A=[a,b]. Tampoco sería problema. En (a,b), α′(t)=0, luego α es constante, es decir, en el intervalo de tiempo [a,b], α es constantemente un punto. Entonces trabajaríamos en I−[a,b].
Pero A puede ser muy 'raro', como el conjunto de Cantor.
Algo parecido a lo anterior pasa cuando consideramos curvas que no son diferenciables (la diferenciabilidad es una propiedad abierta) en 'pocos puntos', por ejemplo, que α sea diferenciable a trozos, es decir, existe t0<t1<…<tn donde α es continua en I y diferenciable en I−{t0,…,tn}. Podemos definir la longitude de α entre a y b (suponiendo a<t0 y tn<b) como ∫ba|α′(t)|dt, ya que la integral existe (se ha quitado un conjunto finito de puntos, a saber, {t0,…,tn}. Por ejemplo, si consideramos el conjunto 'L' dado por A=([0,1]×{0})∪({0}×[0,1]), se puede parametrizar como una curva diferenciable a trozos:
α(t)={(t,0)t∈[0,1](0,t+1)t∈[−1,0] Entonces α es continua y es diferenciable en [−1,1]−{0}. La longitud es 2, al ser la suma de dos segmento de longitud 1, pero hacemos la cuenta. Sabemos que α′(t)={(1,0)t∈[0,1](0,1)t∈[−1,0]
Entonces la longitud es
∫1−1|α′(t)|dt=∫0−11dt+∫101dt=1+1=2.
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