Cuando no se es regular

Ya hemos comentado que la regularidad es una condición abierta, es decir, si $\alpha$ es regular en $t=t_0$, entonces lo es en un intervalo $I=(t_0-\delta,t_0+\delta)$ de manera que podemos restringir $\alpha$ al intervalo $I$ y trabajar en $I$ como una curva regular.

Si $\alpha$ no es regular en $t_0$, entonces poco podemos decir. El conjunto $A=\{t\in I:  \alpha'(t)=0\}$ es un conjunto cerrado, pero los conjuntos cerrados de $\mathbb{R}$ pueden ser muy raros. Sabemos que es el complementario de una unión de intervalos abiertos, pero no más. Puede pasar que si $t_0\in A$, sea $t_0$ un punto aislado, es decir, para cierto $\epsilon>0$, la curva $\alpha$ sea regular en $(t_0-\epsilon)\cup (t_0+\epsilon)$. Entonces no habría problema, y trabajaríamos en cada uno de los subintervalos.  Puede pasar que $A$ sea un intervalo cerrado $A=[a,b]$. Tampoco sería problema. En $(a,b)$, $\alpha'(t)=0$, luego $\alpha$ es constante, es decir, en el intervalo de tiempo $[a,b]$, $\alpha$ es constantemente un punto. Entonces trabajaríamos en $I-[a,b]$.

Pero $A$ puede ser muy 'raro', como el conjunto de Cantor.

Algo parecido a lo anterior pasa cuando consideramos curvas que no son diferenciables (la diferenciabilidad es una propiedad abierta) en 'pocos puntos', por ejemplo, que $\alpha$ sea diferenciable a trozos, es decir, existe $t_0<t_1<\ldots<t_n$ donde $\alpha$ es continua en $I$ y diferenciable en $I-\{t_0,\ldots,t_n\}$. Podemos definir la longitude de $\alpha$ entre $a$ y $b$ (suponiendo $a<t_0$ y $t_n<b$) como $\int_a^b|\alpha'(t)|dt$, ya que la integral existe (se ha quitado un conjunto finito de puntos, a saber, $\{t_0,\ldots,t_n\}$. Por ejemplo, si consideramos el conjunto 'L' dado por $A=([0,1]\times\{0\})\cup(\{0\}\times [0,1])$, se puede parametrizar como una curva diferenciable a trozos:

$$\alpha(t)=\left\{\begin{array}{ll}(t,0) &t\in [0,1]\\ (0, t+1)&t\in [-1,0]\end{array}\right.$$ Entonces $\alpha$ es continua y es diferenciable en $[-1,1]-\{0\}$. La longitud es $2$, al ser la suma de dos segmento de longitud $1$, pero hacemos la cuenta. Sabemos que $$\alpha'(t)=\left\{\begin{array}{ll}(1,0) &t\in [0,1]\\ (0, 1)&t\in [-1,0]\end{array}\right.$$ Entonces la longitud es
 $$\int_{-1}^1|\alpha'(t)|dt=\int_{-1}^0 1 dt+\int_0^1 1 dt=1+1=2.$$