Si queremos hallar la longitud de una elipse (una vuelta de la misma), tomamos la parametrización $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$ de semiejes $a$ y $b$. Una vuelta de la elipse es de nuevo considerar un intervalo de longitud $2\pi$, obteniendo $$L_0^{2\pi}(\alpha)=\int_0^{2\pi}|\alpha'(t)|dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin(t)^2+b^2\cos(t)^2}\ dt,$$
pero esta integral no es fácil calcularla. En verdad, no hay una expresión algebraica de dicha integral. Es curioso que el 'pequeño' cambiar de considerar elipse, en vez de circunferencia, hace que no podamos calcular la longitud de la elipse. La integral que aparece anteriormente es de interés en matemáticas, y pertenece a la familia de las llamadas integrales elípticas.
Observación. El área que encierra una elípse sí se puede hallar y es $\pi a b$: cuando $a=b$, tenemos una circunferencia y obteniendo como era de esperar $\pi a^2$. Para hallar dicho área puede uno irse a la asignatura de Calculo II o usar la fórmula aprendida en el instituto de que el área de $y=f(x)$ es su 'integral'. En nuestro caso, ponemos $y=(b/a)\sqrt{a^2-x^2}$ e integrar entre $x=0$ y $x=a$ y por simetría, multiplicar por $4$: ¡esta integral sí se puede calcular! Primero, $$\int\sqrt{a^2-x^2} dx =\frac12\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2 \mbox{arc tan}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right).$$ Sustituyendo en $x=0$, da $0$ y en $a$ es $\pi a^2/4$. Luego la integral inicial es $\pi ab/4$ y al multiplicar por $4$, $\pi a b$.
Para acabar,
Pregunta: ¿cuál es la longitud del cicloide después de dar una vuelta la circunferencia generatriz?
Tenemos una parametrización de l a cicloide de la forma
ReplyDeleteα(t)=r(t-sen(t),1-cos(t)) donde r es el radio de la circunferencia generatriz y t es el ángulo respecto del radio vertical hacia abajo desde el centro que ha recorrido un punto p de dicha circunferencia, que sin perder generalidad puede suponerse que es el (0,0).
Así, la longitud buscada será:
α'(t)=r(1-cos(t),sen(t))
(en adelante el símbolo ∫ indica integral entre 0 y 2π)
L2π0(α)=∫|α′(t)|dt=∫(r^2((1-cos(t))^2+sen^2(t))^(1/2)dt=
r∫((1-cos(t))^2+sen^2(t))^(1/2)dt=
r∫(1-2cos(t)+cos^2(t)+sen^2(t))^(1/2)dt=[Usando fórmula fundamental de la trigonometría]=
r∫(2-2cos(t))^(1/2)dt=r∫(2(1-cos(t))^(1/2)dt=[como t está entre 0 y 2pi, sen(t/2) será mayor o igual que cero, así aplicamos la fórmula: sen(t/2)=(1/2-cos(t)/2)^(1/2)]=
r∫(4(1/2-cos(t)/2)^(1/2)dt=2r∫sen(t/2)dt=-4r*(cos(π)-cos(0))=8r.
Por tanto la longitud del cicloide cuando la circunferencia generatriz da una vuelta completa es 8 veces el radio de dicha circunferencia generatriz.
Alexis Béjar López
Ok. Change the text and write directly with LaTeX code.
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ReplyDeleteTenemos una parametrización de l a cicloide de la forma
ReplyDeleteα(t)=r(t-sen(t),1-cos(t)) donde r es el radio de la circunferencia generatriz y t es el ángulo respecto del radio vertical hacia abajo desde el centro que ha recorrido un punto p de dicha circunferencia, que sin perder generalidad puede suponerse que es el (0,0).
Así, la longitud buscada será:
α'(t)=r(1-cos(t),sen(t))
L2π0(α)=$$\int_{0}^{2pi} \! \sqrt{r^2((1-\cos(t))^2+\sin^2(t)))} \, dt = r\int_{0}^{2pi} \! \sqrt{1-2cos(t)+cos^2(t)+sen^2(t)} \, dt =r\int_{0}^{2pi} \! \sqrt{2(1-cos(t)} \, dt=r\int_{0}^{2pi} \! \sqrt{\frac{4(1-cos(t))}{2}} \, dt=2r\int_{0}^{2pi} \! \sin({\frac{t}{2}}) \, dt=-4r(cos(\pi )-cos(0))=8r$$
Donde hemos usado que t∈[0,2π], por lo que sen(t/2)≥0, de donde tenemos que: $$sin(t/2)=\sqrt{\frac{1-cos(t))}{2}}$$
Alexis Béjar López
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