Si queremos hallar la longitud de una elipse (una vuelta de la misma), tomamos la parametrización $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$ de semiejes $a$ y $b$. Una vuelta de la elipse es de nuevo considerar un intervalo de longitud $2\pi$, obteniendo $$L_0^{2\pi}(\alpha)=\int_0^{2\pi}|\alpha'(t)|dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin(t)^2+b^2\cos(t)^2}\ dt,$$
pero esta integral no es fácil calcularla. En verdad, no hay una expresión algebraica de dicha integral. Es curioso que el 'pequeño' cambiar de considerar elipse, en vez de circunferencia, hace que no podamos calcular la longitud de la elipse. La integral que aparece anteriormente es de interés en matemáticas, y pertenece a la familia de las llamadas integrales elípticas.
Observación. El área que encierra una elípse sí se puede hallar y es $\pi a b$: cuando $a=b$, tenemos una circunferencia y obteniendo como era de esperar $\pi a^2$. Para hallar dicho área puede uno irse a la asignatura de Calculo II o usar la fórmula aprendida en el instituto de que el área de $y=f(x)$ es su 'integral'. En nuestro caso, ponemos $y=(b/a)\sqrt{a^2-x^2}$ e integrar entre $x=0$ y $x=a$ y por simetría, multiplicar por $4$: ¡esta integral sí se puede calcular! Primero, $$\int\sqrt{a^2-x^2} dx =\frac12\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2 \mbox{arc tan}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right).$$ Sustituyendo en $x=0$, da $0$ y en $a$ es $\pi a^2/4$. Luego la integral inicial es $\pi ab/4$ y al multiplicar por $4$, $\pi a b$.
Para acabar,
Pregunta: ¿cuál es la longitud del cicloide después de dar una vuelta la circunferencia generatriz?
