Cuando no se es regular

Ya hemos comentado que la regularidad es una condición abierta, es decir, si $\alpha$ es regular en $t=t_0$, entonces lo es en un intervalo $I=(t_0-\delta,t_0+\delta)$ de manera que podemos restringir $\alpha$ al intervalo $I$ y trabajar en $I$ como una curva regular.

Si $\alpha$ no es regular en $t_0$, entonces poco podemos decir. El conjunto $A=\{t\in I:  \alpha'(t)=0\}$ es un conjunto cerrado, pero los conjuntos cerrados de $\mathbb{R}$ pueden ser muy raros. Sabemos que es el complementario de una unión de intervalos abiertos, pero no más. Puede pasar que si $t_0\in A$, sea $t_0$ un punto aislado, es decir, para cierto $\epsilon>0$, la curva $\alpha$ sea regular en $(t_0-\epsilon)\cup (t_0+\epsilon)$. Entonces no habría problema, y trabajaríamos en cada uno de los subintervalos.  Puede pasar que $A$ sea un intervalo cerrado $A=[a,b]$. Tampoco sería problema. En $(a,b)$, $\alpha'(t)=0$, luego $\alpha$ es constante, es decir, en el intervalo de tiempo $[a,b]$, $\alpha$ es constantemente un punto. Entonces trabajaríamos en $I-[a,b]$.

Pero $A$ puede ser muy 'raro', como el conjunto de Cantor.

Algo parecido a lo anterior pasa cuando consideramos curvas que no son diferenciables (la diferenciabilidad es una propiedad abierta) en 'pocos puntos', por ejemplo, que $\alpha$ sea diferenciable a trozos, es decir, existe $t_0<t_1<\ldots<t_n$ donde $\alpha$ es continua en $I$ y diferenciable en $I-\{t_0,\ldots,t_n\}$. Podemos definir la longitude de $\alpha$ entre $a$ y $b$ (suponiendo $a<t_0$ y $t_n<b$) como $\int_a^b|\alpha'(t)|dt$, ya que la integral existe (se ha quitado un conjunto finito de puntos, a saber, $\{t_0,\ldots,t_n\}$. Por ejemplo, si consideramos el conjunto 'L' dado por $A=([0,1]\times\{0\})\cup(\{0\}\times [0,1])$, se puede parametrizar como una curva diferenciable a trozos:

$$\alpha(t)=\left\{\begin{array}{ll}(t,0) &t\in [0,1]\\ (0, t+1)&t\in [-1,0]\end{array}\right.$$ Entonces $\alpha$ es continua y es diferenciable en $[-1,1]-\{0\}$. La longitud es $2$, al ser la suma de dos segmento de longitud $1$, pero hacemos la cuenta. Sabemos que $$\alpha'(t)=\left\{\begin{array}{ll}(1,0) &t\in [0,1]\\ (0, 1)&t\in [-1,0]\end{array}\right.$$ Entonces la longitud es
 $$\int_{-1}^1|\alpha'(t)|dt=\int_{-1}^0 1 dt+\int_0^1 1 dt=1+1=2.$$

Longitud de una elipse

La definición que tenemos para la longitud de una curva nos permite obtener la longitud de una circunferencia de radio $r>0$. Así, si $\alpha(t)=(r\cos(t),r\sin(t))$, una vuelta a la circunferencia es tomar un intervalo de longitud $2\pi$, por ejemplo, $[0,2\pi]$. Por tanto la longitud es $$L_0^{2\pi}(\alpha)=\int_0^{2\pi}|\alpha'(t)|dt=\int_0^{2\pi}r\ dt=2\pi r.$$
Si queremos hallar la longitud de una elipse (una vuelta de la misma), tomamos la parametrización $\alpha(t)=(a\cos(t),b\sin(t))$  de semiejes $a$ y $b$. Una vuelta de la elipse es de nuevo considerar un intervalo de longitud $2\pi$, obteniendo $$L_0^{2\pi}(\alpha)=\int_0^{2\pi}|\alpha'(t)|dt=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2\sin(t)^2+b^2\cos(t)^2}\ dt,$$
pero esta integral no es fácil calcularla. En verdad, no hay una expresión algebraica de dicha integral. Es curioso que el 'pequeño' cambiar de considerar elipse, en vez de circunferencia, hace que no podamos calcular la longitud de la elipse. La integral que aparece  anteriormente es de interés en matemáticas, y pertenece a la familia de las llamadas integrales elípticas.

Observación. El área que encierra una elípse sí se puede hallar  y es $\pi a b$: cuando $a=b$, tenemos una circunferencia y obteniendo como era de esperar $\pi a^2$. Para hallar dicho área puede uno irse a la asignatura de  Calculo II o usar la fórmula aprendida en el instituto de que el área de $y=f(x)$ es su 'integral'. En nuestro caso, ponemos $y=(b/a)\sqrt{a^2-x^2}$ e integrar entre $x=0$ y $x=a$ y por simetría,  multiplicar por $4$: ¡esta integral sí se puede calcular! Primero, $$\int\sqrt{a^2-x^2} dx =\frac12\left(x\sqrt{a^2-x^2}+a^2 \mbox{arc tan}\frac{x}{\sqrt{a^2-x^2}}\right).$$ Sustituyendo en $x=0$, da $0$ y en $a$ es $\pi a^2/4$. Luego la integral inicial es $\pi ab/4$ y al multiplicar por $4$, $\pi a b$.

Para acabar,
Pregunta: ¿cuál es la longitud del cicloide después de dar una vuelta la circunferencia generatriz?