Catenaria o parábola

Hoy hemos visto que la forma de una cuerda suspendida entre dos puntos y debida a su propio peso es la catenaria $y(x)=\frac{1}{a}\cosh(ax+b)+c$, $a,b,c\in\mathbb{R}$. Y la forma de una cuerda debido a su carga es la párabola $y(x)=ax^2+b$, $a,b\in \mathbb{R}$. Si le damos la vuelta a ambos tenemos arcos y es natural hacerse la siguiente

Pregunta: al construir un arco ¿cuál es la forma apropiada?

En nuestro lenguaje, ¿cuál es la parametrización de un arco apropiado? Por supuesto, esto depende qué significa 'apropiado'. Si dijéramos que es la forma que adopta de manera 'natural', entonces sería la catenaria (por su propio peso). Pero uno puede pedir que el arco sea 'fuerte', es decir, que 'aguante un gran peso'. Parece ser que sería la parábola.

En San Louis (Estados Unidos), existe un arco llamado Gateway Arch, de 192 metros de ancho y de alto. Robert Osserman (Stanford) escribió un bonito artículo sobre las matemáticas que hay detrás de dicha forma: How the Gateway Arch Got its Shape, Nexus Network Journal (2010), Volume 12, Issue 2, pp 167–189.

Os animo que lo leáis y saquéis vuestras propias conclusiones. Justo al principio se pregunta si en la construcción se toma decisiones estéticas o decisiones estructurales. También, en el último párrafo de la página 171 se justifica la forma de la parábola si es para sujetar un gran peso (que no es éste el caso). 

Es curioso que la parábola y la catenaria son casi iguales para ciertas condiciones, por ejemplo, en el Golden Gate Bridge de San Francisco (figs. 5, 6). En el caso del Gateway Arch, el propio arquitecto dijo que fue construido !a ojo!: "The arch actually is not a true parabola, nor is it a catenary curve. We worked at first with the mathematical shapes, but finally adjusted it according to the eye."

El comportamiento en el infinito de la catenaria y parábola son muy diferentes, pero en trozos 'pequeños' pueden ser parecidos, como se deduce de leer el artículo de Osserman. Yo he hecho un ejercicio muy simple que es hallar la catenaria y parábola que es simétrica respecto del eje $y$, tiene como vértice el origen $(0,0)$ y pasa por el punto $(2,1)$.

Para la catenaria $y(x)=\cosh(ax+b)/a+c$, obtengo que $b=0$ para que sea simétrica respecto del eje $y$, para que pase por el origen, que $c=-1/a$ y por último, para que pase por $(2,1)$, tengo que resolver $\cosh(2a)=1+a$, obteniendo $a=0.465411$. Para la parábola, tengo $z(x)=x^2/4$. Y las gráficas son:

El dibujo está hecho con Mathematica, y la escala de los ejes es la misma. Sin embargo, no soy capaz de verlos separados. También el desarrollo de Taylor de $y(x)$ alrededor de $x=0$  es $0.232705 x^2+ 0.00420047 x ^4+O(x)^6$,  muy parecido a $0.25 x^2$.