Vamos a parametrizar una circunferencia sin que la aplicación sea diferenciable o incluso, sin ser continua. Concretamos la pregunta. Tomamos el conjunto $C=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2+y^2=1\}$ que representa una circunferencia de radio $1$ centrada en el origen de coordenadas de $\mathbb{R}^2$.
Pregunta: Hallar una aplicación $\alpha:I\subset \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$ que no sea diferenciable y cuya imagen $\alpha(I)$ es $C$.
Dicha aplicación sería una parametrización de $C$ pero no es una curva en el sentido que le hemos dado a la asignatura. Sabemos que todo punto $p\in C$ es de la forma $p=(\cos(t(p)),\sin(t(p)))$ para algún número real $t(p)$. Observemos que para dicho $t(p)$, también tenemos $p=(\cos(t(p)+2\pi),\sin(t(p))+2\pi)$. Lo que estamos preguntando es por una manera de elegir $t(p)$ sin que sea diferenciable. Por ejemplo, si tomamos $t\mapsto (\cos(t),\sin(t))$ entonces dicha aplicación es diferenciable.
Vamos a tomar $I=\mathbb{R}$. Entonces para cualquier aplicación $\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ cuya imagen contenga al intervalo $[0,2\pi]$, tenemos que $\alpha(t)=(\cos(\varphi(t)),\sin(\varphi(t)))$ es una aplicación cuya imagen es $C$. Basta tomar entonces una aplicación $\varphi$ que no sea diferenciable, por ejemplo, $\varphi(t)=|t|$. Así la respuesta es $\alpha(t)=(\cos(|t|),\sin(|t|))$. Os dejo que probéis que $\alpha$ no es diferenciable en $t=0$. Ojo: que la aplicación $t\mapsto |t|$ no sea diferenciable y $t\mapsto\cos$ sea diferenciable no implica que la composición de ambos no sea diferenciable.
Para acabar con esta entrada, hacemos la siguiente
Pregunta: Hallar una aplicación $\alpha:I\subset \mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^2$ que no sea continua y cuya imagen $\alpha(I)$ es $C$.
Haciendo un razonamiento parecido al de antes, la aplicación
$$\varphi(t)=\left\{\begin{array}{ll} t& t\leq 0\\ t+1 & t > 0\end{array}\right.$$
no es continua en $t=0$, $\alpha(t)=(\cos(\varphi(t)),\sin(\varphi(t)))$ no es continua pero $\alpha(\mathbb{R})=C$.
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