Vamos a parametrizar una circunferencia sin que la aplicación sea diferenciable o incluso, sin ser continua. Concretamos la pregunta. Tomamos el conjunto C={(x,y)∈R2:x2+y2=1} que representa una circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas de R2.
Pregunta: Hallar una aplicación α:I⊂R→R2 que no sea diferenciable y cuya imagen α(I) es C.
Dicha aplicación sería una parametrización de C pero no es una curva en el sentido que le hemos dado a la asignatura. Sabemos que todo punto p∈C es de la forma p=(cos(t(p)),sin(t(p))) para algún número real t(p). Observemos que para dicho t(p), también tenemos p=(cos(t(p)+2π),sin(t(p))+2π). Lo que estamos preguntando es por una manera de elegir t(p) sin que sea diferenciable. Por ejemplo, si tomamos t↦(cos(t),sin(t)) entonces dicha aplicación es diferenciable.
Vamos a tomar I=R. Entonces para cualquier aplicación φ:R→R cuya imagen contenga al intervalo [0,2π], tenemos que α(t)=(cos(φ(t)),sin(φ(t))) es una aplicación cuya imagen es C. Basta tomar entonces una aplicación φ que no sea diferenciable, por ejemplo, φ(t)=|t|. Así la respuesta es α(t)=(cos(|t|),sin(|t|)). Os dejo que probéis que α no es diferenciable en t=0. Ojo: que la aplicación t↦|t| no sea diferenciable y t↦cos sea diferenciable no implica que la composición de ambos no sea diferenciable.
Para acabar con esta entrada, hacemos la siguiente
Pregunta: Hallar una aplicación α:I⊂R→R2 que no sea continua y cuya imagen α(I) es C.
Haciendo un razonamiento parecido al de antes, la aplicación
φ(t)={tt≤0t+1t>0
no es continua en t=0, α(t)=(cos(φ(t)),sin(φ(t))) no es continua pero α(R)=C.
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