Curvas y ecuaciones diferenciales: teorema de existencia

Recordemos la matriz que aparece en las ecuaciones de Frenet:

$$A=\left(\begin{array}{ccc}0&\kappa&0\\ -\kappa&0&\tau\\ 0&-\tau&0\end{array}\right).$$

Podemos escribir las ecuaciones de Frenet del siguiente modo: si $$f(s)=\left(\begin{array}{l} T(s)\\ N(s)\\ B(s)\end{array}\right)\in \mathbb{R}^9,$$ entonces $f'(s)=A(s)f(s)$. Si pensamos en una ecuaciones diferencial (vectorial), donde $f$ es la incógnita, el problema de valores iniciales que tenemos es el siguiente: dadas funciones $\kappa,\tau:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ diferenciables con $\kappa>0$, ¿existe una solución de dicha ecuación diferencial para unos valores iniciales dados? El resultado clásico de existencia dice que sí y que es única siempre que prefijemos el valor en un instante $s_0$. En nuestro caso $f(s_0)$ sería tres vectores que forman una base ortonormal.

Cuando ya tengamos la función $f(s)$ (que llega a $\mathbb{R}^9$, nos quedamos con las tres primeras coordenadas, que deberían corresponder con el vector tangente de 'alguna curva'. Si $g(s)=(f_1(s),f_2(s),f_3(s))$ son esas primera tres coordenadas, basta ahora definir la curva $$\alpha(s)=\int_{s_0}^s g(u)du.$$

¿Qué quedaría por hacer? Probar que la curvatura y torsión de $\alpha$ es justamente las funciones dadas inicialmente, es decir, $\kappa$ y $\tau$. Pero esto es simplemente computar... probando que $\alpha$ está p.p.a., ... luego que el triedro de Frenet de la curva $\alpha$ es $T(s)=(f_1(s),f_2(s),f_3(s))$, $N(s)=(f_4(s),f_5(s),f_6(s))$ y $B(s)=(f_7(s),f_8(s),f_9(s))$... luego hallar las derivadas, y finalmente poner las definiciones de curvatura y torsión. Pero esto lo dejo al alumno interesado.

Por tanto hemos probado el siguiente resultado:

Teorema. Dadas dos funciones diferenciables $\kappa,\tau:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$   con $\kappa>0$, existe una curva con curvatura $\kappa$ y torsión $\tau$.

Finalmente una observación. La matriz $A$ es antisimétrica, es decir, $A^t=-A$. ¿Qué interpretación podemos sacar de ello?

Una propiedad de las matrices antisimétricas de orden $3$ (análogamente para las de orden $2$) es que la imagen de un vector por dichas matrices es un vector perpendicular al inicial (Ejercicio). Así, si $v\in\mathbb{R}^3$, entonces $Av\perp v$.