Ser o no ser ... una curva

Supongamos que tenemos un conjunto $A$  del que creemos que es una curva. Si queremos probar que efectivamente lo es, tenemos que parametrizarlo, es decir,  tenemos que encontrar una curva $\alpha$ cuya traza sea $A$. Puede suceder que haya también una aplicación $\beta:I\rightarrow \mathbb{R}^3 (\mathbb{R}^2)$ cuya imagen es $A$ pero $\beta$ no es diferenciable, es decir, no es una curva tal como lo tenemos definido.

Un ejemplo es tomar la función valor absoluto. Tomamos el conjunto $$A=\{(x,|x|)\in\mathbb{R}^2: x\in\mathbb{R}\}.$$

Sea $\beta(t)=(t,|t|)$, $t\in\mathbb{R}$. Es evidente que la traza de $\beta$ es $A$, pero $\beta$ es diferenciable excepto en $t=0$. Por tanto, $\beta$ no es una curva.

Sin embargo si definimos $$\alpha(t)=\left\{\begin{array}{ll}(t^4,t^4)&t\geq 0\\ (-t^4,t^4)&t\leq 0\end{array}\right.$$
entonces $\alpha$ es diferenciable (al menos es $C^4$) y su traza es $A$.

¿Cuál es la diferencia entre $\alpha$ y $\beta$? Si hallamos la velocidad de $\beta$, entonces no es continua ($\beta$ no es diferenciable) pues $\lim_{t\rightarrow 0^+}\beta'(t)=(1,1)$ y $\lim_{t\rightarrow 0^-}\beta'(t)=(1,-1)$. En verdad, la velocidad es constante en el periodo de tiempo $t<0$ y constante (pero diferente) cuando $t>0$. Intuitivamente, vamos recorriendo el conjunto $A$ por la recta $y=-x$ a velocidad constante $(1,-1)$ y al llegar a $t=0$ (el punto $(0,0)$) damos un cambio brusco de velocidad (no continuidad de $\beta'(t)$), 'giramos' y nos ponemos a velocidad constante a lo largo de la recta $y=x$.

Para 'solucionarlo', es decir, para encontrar una parametrización (=diferenciabilidad) de $A$ lo que hacemos es que conforme vamos llegando al origen $(0,0)$ por la recta $y=-x$, disminuimos la velocidad (en módulo) hasta hacerla $0$ en el origen, 'giramos'  a la recta $y=x$, y vamos aumentando la velocidad de manera diferenciable. Fijaros que la velocidad a lo largo del conjunto $A$ no es constante sino $$\alpha'(t)=\left\{\begin{array}{ll}(4t^3,4t^3)&t\geq 0\\ (-4t^3,4t^3)&t\leq 0\end{array}\right.$$