¿Porqué estudiamos AHORA curvas y superficies?

Las curvas y las superficies son objetos que podríamos decir, son de dimensión 1 y 2, respectivamente. Hasta ahora las curvas que hemos estudiados han sido las rectas, parábolas, elipses, todas ellas en el instituto. Sobre superficies, sólo el plano. Si nos fijamos, algunos de ellos son objetos vectoriales (rectas, planos); los otros son métricos, como la parábola y la elipse (ésta es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma a dos puntos fijos, llamados focos, es constante). Las 'ecuaciones' de estos objetos son polinómicas, de grado 1 o 2, como mucho.

Por supuesto, en el mundo hay más curvas y superficies. Por ejemplo la circunferencia $x^2+y^2=1$, o la esfera $x^2+y^2+z^2=1$. También está el cilindro, un cono, una hoja de papel doblada, etc. También las superficies de los objetos tridimensionales que nos rodean. Pongo estos ejemplos para que pensemos que no tienen porqué venir dadas por ecuaciones sencillas. Para ejemplos de curvas, podemos imaginar el camino que recorre una partícula al moverse (o un coche en una carretera), o las isobaras en un mapa meteorológico.

Otros ejemplos de superficies y curvas son las que aparecen en los dibujos animados de las películas, superficies realizadas por ordenador, pero al fin y al cabo, superficies. También este fémur, hecho a trozos por superficies.

Os dejo el enlace, una página sobre diseño por ordenador (Computer Aided Design (CAD) and Computer Aided Geometric Design (CAGD)).

El objetivo del curso es caracterizar, en la medida de lo posible, la forma de una curva y una superficie mediante su curvatura. La curvatura nos informará de cómo se dobla una curva o una superficie y no será nada más que una función en cada punto del conjunto que evaluará cómo de curvado está en ese punto.

Pero es ahora, una vez que tenemos suficiente conocimientos de álgebra lineal (espacios vectoriales y métricos, aplicaciones lineales), y del cálculo diferencial, cuando tenemos las herramientas necesarias para estudiar estos objetos. Por esto el estudio de las curvas y superficies entra dentro del campo de la geometría diferencial, que como sus mismas palabras dicen, es usar el cálculo en la geometría.

Por eso hemos tenido que esperar hasta este curso de segundo de carrera para poder empezar con el estudio de estos objetos. Y usaremos resultados de cursos anteriores, tan dispares como: diagonalización, endomorfimos autoadjuntos, espacios compactos, teorema de la función inversa e implícita, máximos y mínimos, etc.

Para acabar. Aunque las curvas y las superficies entran dentro del campo de la geometría diferencial clásica, no por ello dejan de tener importancia en las matemáticas de hoy en día. Las ecuaciones que describen su curvatura, incluso en los casos más 'sencillos' empujan a otros campos de las matemáticas, especialmente las ecuaciones diferenciales, ecuaciones en derivadas parciales o el análisis funcional. En el departamento de Geometría y Topología de la Universidad de Granada gran parte de sus miembros se dedican al estudio de 'superficies', con investigaciones punteras. Os animo que entréis en las páginas webs de sus miembros y leáis los títulos de los artículos, y veréis como aparece regularmente la palabra 'surface'.