Curvatura de grafos y puntos de inflexión

Aunque todavía no hemos calculado la curvatura para una curva no parametrizada por el arco, para curvas planas nos podemos imaginar qué sucede. Consideramos curvas que sean grafos $y=f(x)$, como las del bachillerato. Entonces $\alpha(t)=(t,f(t))$ parametriza la curva y $|\alpha'(t)|=\sqrt{1+f'(t)^2}=\sqrt{1+y'^2}$. Por tanto no está parametrizada por arco. 

Para parametrizar por arco hay que calcular la integral $S(t)=\int_{t_0}^t\sqrt{1+f'(t)^2} dt$, lo cual, si uno recuerda del instituto, no era un tipo de integral de las 'fáciles'. Observemos también que dicha integral (o parecida) aparecía en ciertas fórmulas del bachillerato, por ejemplo al calcular la longitud de curvas $y=f(x)$ o el área de superficies de revolución.

Volviendo a la curvatura, sabemos que el signo de la curvatura nos dice si la curva se encuentra en el lado del vector normal, o en el lado contrario si la curvatura es negativa. Si uno recuerda el análisis de las gráficas de $y=f(x)$, este cambio 'izquierda-derecha' se producía en los puntos de inflexión. Como ejemplo tomamos la función seno $y=\sin(x)$. Si una mira la gráfica (línea azul), los puntos de inflexión son los puntos donde $y''(x)=-\sin(x)$ se anula (línea verde), es decir, en los puntos de la forma $n\pi$, para $n\in\mathbb{N}$. 

Así, en el intervalo $(0,\pi)$, y como estamos recorriendo la curva 'hacia la derecha' según $t$, la curva se encuentra a la derecha respecto de la recta tangente, el vector normal está a la izquierda (giro de ángulo $\pi/2$ en el sentido contrario a las agujas del reloj), luego la curvatura debe ser negativa: vemos también que la derivada segunda es negativa. Al llegar a $t=\pi$, la curva se encuentra ahora a la izquierda, luego la curvatura es positiva, como efectivamente vemos que $f''(x)>0$, y así sucesivamente. Observemos que $\alpha''(t)=(0,f''(t))$. Sin embargo la curvatura no es $f''(t)$.

Diferencias entre traza y grafo

Hacemos hincapié en la diferencia entre la traza de una curva y el grafo de una función. Consideramos una curva $\alpha:I\rightarrow \mathbb{R}^2$. La traza de $\alpha$ es su imagen, es decir, $\alpha(I)=\{\alpha(t):t\in I\}$. Por tanto es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$. El grafo de $\alpha$ es $$G(\alpha)=\{(t,\alpha(t))\in \mathbb{R}^3:t\in I\}.$$
Es un subconjunto de $\mathbb{R}^3$.

Si recordamos nuestra época del instituto, cuando 'dibujamos' la función $y=f(x)$, con $x\in I$, lo que estamos es dibujando el grafo de $f$, es decir, $G(f)=\{(x,f(x)):x\in I\}$. Si parametrizamos este conjunto como curva, entonces tomamos $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ definida por $\alpha(t)=(t,f(t))$. Es evidente que $\alpha(I)=G(f)$, pero el grafo de $\alpha$ (¡no el de $f$!) es
$$G(\alpha)=(t,\alpha(t)):t\in I\}=\{(t,t,f(t)): t\in I\}\subset \mathbb{R}^3.$$
Pregunta: ¿qué relación tiene este conjunto con $G(f)$?

Con un ejemplo está claro. Tomamos $y=x^2$ (la parábola). En el siguiente dibujo tenemos a la izquierda $G(f)$ y a la derecha $G(\alpha)$.

 

Otro ejemplo para pensar la diferencia es el siguiente. Si $\alpha(t)=(\cos(t),\sin(t))$ parametriza una circunferencia, entonces la traza de $\alpha$ es $\mathbb{S}^1$ pero la gráfica de $\alpha$ es
$G(\alpha)=\{(t,\cos(t),\sin(t)):t\in \mathbb{R}\}$, que es una hélice: véase el siguiente dibujo de $G(\alpha)$: