$$\kappa(t)=\frac{2}{\left(4 t^2+1\right)^{3/2}}.$$
For the normal vector of $\alpha$, we first calculate the tangent vector
$$T_\alpha(t)=\frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|}\Rightarrow N_\alpha(t)=J T_\alpha(t)=\left(-\frac{2 t}{\sqrt{4 t^2+1}},\frac{1}{\sqrt{4 t^2+1}}\right).$$ Finally we have $$\beta(t)=\alpha(t)+N(t)/\kappa(t)=\left(-4 t^3,3 t^2+\frac{1}{2}\right).$$ The picture of both curves is:
where the blue color corresponds with the parabola and the green one is its evolute. We check the property proved in classroom that the tangent line of $\alpha$ is the normal line of $\beta$ at the corresponding point. We do it at $t=1$, with $\alpha(1)=(1,1)$ and $\beta(1)=(-4,7/2)$.
Question: Let do with the curve $y=\sin(x)$ at the point $(0,0)$.
ALUMNO: Román Ruiz, David.
ReplyDeleteConsideramos la parametrización
$\alpha(t) = (t, \sin(t)), \ \forall t \in \mathbb{R}$
$\alpha'(t) = (1, \cos(t)) \ \longrightarrow |\alpha'(t)| = \sqrt{1+\cos(t)^{2}}$
$J\alpha'(t) = (-\cos(t), 1)$
$\alpha''(t) = (0, -\sin(t))$
Claramente tenemos una parametrización regular, por lo que tenemos la opción de definir la curvatura como
$$\kappa(t) = \frac{< \alpha''(t), J\alpha'(t) >}{|\alpha'(t)|^{3}} = \frac{-\sin(t)}{\left(\sqrt{1+\cos(t)^{2}}\right)^{3}}$$
y el diedro de Frênet como
$$\left\lbrace \begin{array}{rcl}
T(t) & = & \displaystyle \frac{\alpha'(t)}{|\alpha'(t)|} = \frac{1}{\sqrt{1 + \cos(t)^{2}}} (1, \cos(t)) \\
\\
N(t) & = & JT(t) = \displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\cos(t)^{2}}} (-\cos(t), 1)
\end{array} \right.$$
Por tanto, la evoluta en principio tendría la ecuación
$$E(t) = \alpha(t) + \frac{1}{\kappa(t)} N(t) = \left( t + cos(t)\frac{1+\cos(t)^{2}}{\sin(t)}, \sin(t) - 1 \right), \ \forall t \in \mathbb{R}$$
pero obviamente, no podemos considerar aquellos valores de $t$ para los cuales se anule la curvatura (aquellos donde se anule la función $\sin(t)$). En particular, $\kappa(0) = 0$, por lo que $E(0)$ no está definido pero se verifica que:
$$\lim_{t \to 0^{+}} E(t) = (+\infty, -1^{+})$$
$$\lim_{t \to 0^{-}} E(t) = (-\infty, -1^{-})$$
¿Cómo interpretarlo?
Si la curvatura es nula en un intervalo, entonces la curva es un segmento de recta y se dice que el radio de curvatura es infinito (se interpreta el segmento de recta como un arco de una circunferencia de radio infinito). En nuestro caso, tenemos un punto aislado de curvatura nula, que coincide con ser un punto de inflexión de la curva en el que:
- se cambia el semiplano (determinado por la recta tangente) en el que se encuentra la curva.
- se cambia el signo de la curvatura.
- se cambia bruscamente (de manera no continua) la dirección del centro de curvatura.
Para ver la gráfica, pinchar en el enlace:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=parametric+plots+x(t)%3D%7Bt,+sin+(t)%7D,+y(t)+%3D+%7Bt%2Bcos(t)*(1%2Bcos(t)%5E2)%2Fsin(t),+-1%2Bsin(t)%7D