Diferencias entre traza y grafo

Hacemos hincapié en la diferencia entre la traza de una curva y el grafo de una función. Consideramos una curva $\alpha:I\rightarrow \mathbb{R}^2$. La traza de $\alpha$ es su imagen, es decir, $\alpha(I)=\{\alpha(t):t\in I\}$. Por tanto es un subconjunto de $\mathbb{R}^2$. El grafo de $\alpha$ es $$G(\alpha)=\{(t,\alpha(t))\in \mathbb{R}^3:t\in I\}.$$
Es un subconjunto de $\mathbb{R}^3$.

Si recordamos nuestra época del instituto, cuando 'dibujamos' la función $y=f(x)$, con $x\in I$, lo que estamos es dibujando el grafo de $f$, es decir, $G(f)=\{(x,f(x)):x\in I\}$. Si parametrizamos este conjunto como curva, entonces tomamos $\alpha:I\rightarrow\mathbb{R}^2$ definida por $\alpha(t)=(t,f(t))$. Es evidente que $\alpha(I)=G(f)$, pero el grafo de $\alpha$ (¡no el de $f$!) es
$$G(\alpha)=(t,\alpha(t)):t\in I\}=\{(t,t,f(t)): t\in I\}\subset \mathbb{R}^3.$$
Pregunta: ¿qué relación tiene este conjunto con $G(f)$?

Con un ejemplo está claro. Tomamos $y=x^2$ (la parábola). En el siguiente dibujo tenemos a la izquierda $G(f)$ y a la derecha $G(\alpha)$.

 

Otro ejemplo para pensar la diferencia es el siguiente. Si $\alpha(t)=(\cos(t),\sin(t))$ parametriza una circunferencia, entonces la traza de $\alpha$ es $\mathbb{S}^1$ pero la gráfica de $\alpha$ es
$G(\alpha)=\{(t,\cos(t),\sin(t)):t\in \mathbb{R}\}$, que es una hélice: véase el siguiente dibujo de $G(\alpha)$:

Ser o no ser ... una curva

Supongamos que tenemos un conjunto $A$  del que creemos que es una curva. Si queremos probar que efectivamente lo es, tenemos que parametrizarlo, es decir,  tenemos que encontrar una curva $\alpha$ cuya traza sea $A$. Puede suceder que haya también una aplicación $\beta:I\rightarrow \mathbb{R}^3 (\mathbb{R}^2)$ cuya imagen es $A$ pero $\beta$ no es diferenciable, es decir, no es una curva tal como lo tenemos definido.

Un ejemplo es tomar la función valor absoluto. Tomamos el conjunto $$A=\{(x,|x|)\in\mathbb{R}^2: x\in\mathbb{R}\}.$$

Sea $\beta(t)=(t,|t|)$, $t\in\mathbb{R}$. Es evidente que la traza de $\beta$ es $A$, pero $\beta$ es diferenciable excepto en $t=0$. Por tanto, $\beta$ no es una curva.

Sin embargo si definimos $$\alpha(t)=\left\{\begin{array}{ll}(t^4,t^4)&t\geq 0\\ (-t^4,t^4)&t\leq 0\end{array}\right.$$
entonces $\alpha$ es diferenciable (al menos es $C^4$) y su traza es $A$.

¿Cuál es la diferencia entre $\alpha$ y $\beta$? Si hallamos la velocidad de $\beta$, entonces no es continua ($\beta$ no es diferenciable) pues $\lim_{t\rightarrow 0^+}\beta'(t)=(1,1)$ y $\lim_{t\rightarrow 0^-}\beta'(t)=(1,-1)$. En verdad, la velocidad es constante en el periodo de tiempo $t<0$ y constante (pero diferente) cuando $t>0$. Intuitivamente, vamos recorriendo el conjunto $A$ por la recta $y=-x$ a velocidad constante $(1,-1)$ y al llegar a $t=0$ (el punto $(0,0)$) damos un cambio brusco de velocidad (no continuidad de $\beta'(t)$), 'giramos' y nos ponemos a velocidad constante a lo largo de la recta $y=x$.

Para 'solucionarlo', es decir, para encontrar una parametrización (=diferenciabilidad) de $A$ lo que hacemos es que conforme vamos llegando al origen $(0,0)$ por la recta $y=-x$, disminuimos la velocidad (en módulo) hasta hacerla $0$ en el origen, 'giramos'  a la recta $y=x$, y vamos aumentando la velocidad de manera diferenciable. Fijaros que la velocidad a lo largo del conjunto $A$ no es constante sino $$\alpha'(t)=\left\{\begin{array}{ll}(4t^3,4t^3)&t\geq 0\\ (-4t^3,4t^3)&t\leq 0\end{array}\right.$$

¿Qué es parametrizar una curva?

Una curva en $\mathbb{R}^n$ ($n=2,3$) es una aplicación diferenciable $\alpha:I\subset \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}^n$. Si escribimos $\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$ con $t\in I$, estamos escribiendo cada una de las coordenadas en función del parámetro $t$. Por esta razón podemos abusar del lenguaje diciendo que $\alpha$ es una parametrización de la curva.

Una curva puede venir  'definida' de varias formas, aparte de la parametrización de la misma, es decir de la aplicación $\alpha$. Por ejemplo, dando una relación entre las (funciones) coordenadas de $\alpha$. Este es el ejemplo de una circunferencia: $x^2+y^2=1$. Con esta igualdad estamos diciendo que si $\alpha$ es la circunferencia anterior, entonces $x(t)^2+y(t)^2=1$. Observemos que podemos escribir dicho conjunto como $C=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2=1\}$ y por tanto no es una curva, es un conjunto y no es una aplicación. Lo que estamos diciendo es que la traza de la curva, es decir, la imagen de la misma ($\alpha(I)$) es $C$. En este caso parametrizar $C$ es encontrar la curva $\alpha$ cuya imagen es $C$.

Solución: llamando $x=t$, entonces $y=\sqrt{1-t^2}$ o $y=-\sqrt{1-t^2}$ donde $I=(-1,1)$. Entonces, y en el primer caso, $\alpha(t)=(t, \sqrt{1-t^2})$. Observando la segunda coordenada, tenemos que la traza de $\alpha$ no es todo $C$, sino sólo la semicircunferencia superior. Para la parte de abajo, cogemos $\beta(t)=(t, -\sqrt{1-t^2})$.  Como la función raíz cuadrada no es diferenciable en $0$, la traza de $\alpha$ y de $\beta$ no rellena todo $C$, pues faltarían los puntos $P=(1,0)$ y $Q=(-1,0)$. Para ello tomamos $y=t$ y definimos $\gamma(t)=(\sqrt{1-t^2},t)$ que cubriría $P$ y $\sigma(t)=(-\sqrt{1-t^2},t)$ que cubriría $Q$. Resumiendo, hemos parametrizado $C$ mediante cuatro curvas.

Otra manera de resolver el problema es usando que para todo par  $(x,y)$ del plano que satisface $x^2+y^2=1$, existe $z$ tal que $\cos(z)=x$ y $\sin(z)=y$. Para cada $x$ e $y$, hay un $z$ y el  problema para poder parametrizar todo $C$ es si es posible elegir ese $z$ de manera diferenciable. La respuesta es sí sin más que tomar $\alpha(t)=(\cos(t),\sin(t))$ y $t\in \mathbb{R}$.

¿Porqué estudiamos AHORA curvas y superficies?

Las curvas y las superficies son objetos que podríamos decir, son de dimensión 1 y 2, respectivamente. Hasta ahora las curvas que hemos estudiados han sido las rectas, parábolas, elipses, todas ellas en el instituto. Sobre superficies, sólo el plano. Si nos fijamos, algunos de ellos son objetos vectoriales (rectas, planos); los otros son métricos, como la parábola y la elipse (ésta es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma a dos puntos fijos, llamados focos, es constante). Las 'ecuaciones' de estos objetos son polinómicas, de grado 1 o 2, como mucho.

Por supuesto, en el mundo hay más curvas y superficies. Por ejemplo la circunferencia $x^2+y^2=1$, o la esfera $x^2+y^2+z^2=1$. También está el cilindro, un cono, una hoja de papel doblada, etc. También las superficies de los objetos tridimensionales que nos rodean. Pongo estos ejemplos para que pensemos que no tienen porqué venir dadas por ecuaciones sencillas. Para ejemplos de curvas, podemos imaginar el camino que recorre una partícula al moverse (o un coche en una carretera), o las isobaras en un mapa meteorológico.

Otros ejemplos de superficies y curvas son las que aparecen en los dibujos animados de las películas, superficies realizadas por ordenador, pero al fin y al cabo, superficies. También este fémur, hecho a trozos por superficies.

Os dejo el enlace, una página sobre diseño por ordenador (Computer Aided Design (CAD) and Computer Aided Geometric Design (CAGD)).

El objetivo del curso es caracterizar, en la medida de lo posible, la forma de una curva y una superficie mediante su curvatura. La curvatura nos informará de cómo se dobla una curva o una superficie y no será nada más que una función en cada punto del conjunto que evaluará cómo de curvado está en ese punto.

Pero es ahora, una vez que tenemos suficiente conocimientos de álgebra lineal (espacios vectoriales y métricos, aplicaciones lineales), y del cálculo diferencial, cuando tenemos las herramientas necesarias para estudiar estos objetos. Por esto el estudio de las curvas y superficies entra dentro del campo de la geometría diferencial, que como sus mismas palabras dicen, es usar el cálculo en la geometría.

Por eso hemos tenido que esperar hasta este curso de segundo de carrera para poder empezar con el estudio de estos objetos. Y usaremos resultados de cursos anteriores, tan dispares como: diagonalización, endomorfimos autoadjuntos, espacios compactos, teorema de la función inversa e implícita, máximos y mínimos, etc.

Para acabar. Aunque las curvas y las superficies entran dentro del campo de la geometría diferencial clásica, no por ello dejan de tener importancia en las matemáticas de hoy en día. Las ecuaciones que describen su curvatura, incluso en los casos más 'sencillos' empujan a otros campos de las matemáticas, especialmente las ecuaciones diferenciales, ecuaciones en derivadas parciales o el análisis funcional. En el departamento de Geometría y Topología de la Universidad de Granada gran parte de sus miembros se dedican al estudio de 'superficies', con investigaciones punteras. Os animo que entréis en las páginas webs de sus miembros y leáis los títulos de los artículos, y veréis como aparece regularmente la palabra 'surface'.